6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか①

義務教育では習わない数学を大人だから学ぶ
第25回 日本数学オリンピック予選 第二問より
~6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか~

記念すべき第一回目の問題は平方数の問題です。難易度は平易で、おそらく数学オリンピックでの正答率は100%でしょう。
しかし、数学的思考力を養うにあたっては非常にわかりやすく良問であるといえるので数学初心者の方も以下の6題を解き、数学的思考とはどういうものかを段階的に理解しましょう。
今日は以下のうち1番目の問いを解説します。

 

 

1.204を素因数分解しなさい。
2.50の正の約数をすべて答えなさい。
3.50の正の約数の個数を求めなさい。
4. √4を簡単な形に直しなさい。
5.50の正の約数かつ平方数はいくつあるか。
6.6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

以下解説
1.204を素因数分解しなさい。
 この記事を見ていただいている方はきっと学生時代に数学が苦手だった方や、知的好奇心が強い学生さんでしょう。ともかく、専門的な数学教育を受けていらっしゃる方は少ないと思うのでまずはこの問題を解くうえで必要である知識、素因数分解の定義から解説していきます。

 

素因数分解…正の整数を素数のみの積で表すこと。
です。

 

それでは素数とはいったいなんのことを指すのでしょうか。

素数…1より大きい自然数で、正の約数が 1と自分自身のみであるもののことである

 1より大きいという言葉がミソです。この言葉を言い換えると「素数に1は含まない」ことになります。ここは間違えやすいポイントなのでぜひ押さえてください。

そうすると、この問題は「204を素数(=1より大きい自然数で、正の約数が 1と自分自身のみである数)の積で表す」ことが出来れば正答となります。
数学にはたくさんの専門用語があり、それぞれに意味があります。それを「正確」に平易な言葉で言い表すことが問題を解くうえでのカギとなります。今回の場合は「204を素数の積で表す」という言い換えがそれにあたります。

たとえば、「4×51」は204を積で表したものですが、「素数」の積で表したものではありません。なぜなら4の約数は1.2.4であり、素数の定義から外れるからです。
また、204をなんらかの積で表したい場合は剰余がでないようになんらかの数字で割ると数字がわかります。今回の場合は「204÷4=51」です。除法の定義では商×除数+剰余=破除数となり、今回は剰余が0なので4×51=204という式を導くことが出来ます。当然この式は204という数字を正の整数の積で表すことが出来ているといえますよね。

そうすると、この性質をうまく使えば「204を素数で割っていく(=素数で分解する)」という解法が思いつくはずです。
実際に割っていってみましょう。

 

204÷2=102
よって、
204=2×102…①
となる。102は素数でないため、まだ除式は続く。
102÷2=51
よって、102=2×51…②
51÷3=17
よって、51=3×17…③
②③より
102=2×3×17…④
となり、①④より
204=2×2×3×17
となります。

 

解答はできるだけ簡単な形で表したいため
204=22 ×3×17となります。

 ちなみに実際の解法はこんなまどろっこしいことを書かずに解答だけを書けばいいです。また、おそらく、この記事を見ていらっしゃるほとんどの方はこの問題を何も考えずに解けたでしょう。ただ、伝えたかったことは「学校で教わった解法はただの暗記だった」ということです。つまり、本来ならば解法を暗記しなくても「そもそも素因数分解の定義がわかっていれば解法を自ら思いつくことが出来る」といえるのです。
 解法を暗記し、パターンの寄せ集めで問題を解くことではなく、定義から解法を探す旅に出かけることこそが数学的思考と言えるでしょう。

 

 

講師 大西優司

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